Фамилия Ивагор — редкая и нестандартная. Она не укладывается в привычные схемы русских фамилий на -ов, -ин или -ский, и это сразу наводит на мысль, что перед нами либо искусственное, либо позднее образование. Скорее всего, фамилия книжного происхождения.

Самый прямой путь — разобрать её как сложение двух основ: «Ива» и «гор». Первая часть, «Ива», может отсылать к имени Иван (в просторечии Ива) или к дереву иве. Вторая часть, «гор», вероятно, связана с глаголом «гореть» или существительным «гора». Но механическое сложение «Иван-гора» или «ива-гора» даёт маловероятное прозвище.

Гораздо правдоподобнее, что фамилия Ивагор — это переделка или сокращение от славянского двухосновного имени, например, Ивангор (сравните с именем Всеволод, где «все» и «влад»). В древнерусской традиции были имена с корнем «гор» (Горяин, Горислав), означавшим «гореть», «пылать», то есть быть страстным, ярким. Тогда Ивагор можно прочитать как «Иван (Божья милость) горящий» или «пылающий Иван» — имя-оберег или характеристика.

Есть и версия, что фамилия возникла в среде духовенства. Семинаристам нередко давали фамилии, образованные от названий церковных праздников или книжных слов. Ивагор могло быть калькой или переосмыслением греческого имени, где «ива» — ива (растение), а «гор» — гора. Но это уже область догадок.

В любом случае, носители фамилии Ивагор — люди с уникальной фамилией, не имеющей массового ареала. Она не встречается в старых боярских списках и не привязана к конкретному ремеслу или местности. Скорее всего, её придумали или записали при переписи относительно поздно, в XVIII–XIX веках, когда потребовалось дать фамилию крестьянину или священнику, и чиновник или сам носитель выбрал необычное сочетание.