Фамилия Ивашнева образована от уменьшительной формы имени Иван — Ивашень. Иван — самое распространённое русское имя на протяжении нескольких столетий, поэтому от него возникло множество производных форм. Ивашень — одна из таких ласкательных или обиходных версий, которая и закрепилась в основе фамилии. Само имя Иван восходит к каноническому Иоанн, а оно, в свою очередь, — к древнееврейскому, где означает «милость Божья». Так что потомок человека по имени Ивашень со временем получал фамилию Ивашнева (или, в другом произношении, Ивашнёва — ударение в таких фамилиях часто плавает).

Словообразовательная модель здесь простая и типичная для русского севера и центра: суффикс -ев присоединялся к основе, оканчивающейся на мягкий согласный (Ивашень → Ивашнев). Фамилии на -ев, как и на -ов, указывали на принадлежность: «чей?» — «Ивашнев», то есть сын, потомок Ивашеня. Это патронимическая модель, которая к XVII–XVIII векам закрепилась как наследственная фамилия.

Интересно, что форма «Ивашень» встречается реже, чем, скажем, «Иваш» или «Ивашка». В старых писцовых книгах и переписях XVII века можно найти упоминания крестьян и посадских людей с таким именем-прозвищем — в основном на территории нынешних Вологодской, Костромской и Новгородской областей. Это даёт примерную географическую привязку: фамилия Ивашнева, скорее всего, изначально бытовала в этих краях.

Других версий происхождения, кроме как от имени Ивашень, у фамилии нет — корень прозрачный, искать здесь тюркские или финно-угорские следы не приходится. Вариант написания с «ё» (Ивашнёва) — вопрос орфографии и местного произношения, смысл фамилии от этого не меняется.