Фамилия Избийкий — редкий пример, где хорошо видна работа суффикса -ий. В русских фамилиях он встречается несравнимо реже привычных -ов или -ин. Если перед нами полная форма прилагательного, то основа, скорее всего, указывает на место: Избийкий — тот, кто родом с Избийки или из Избия. Географических названий с корнем «изб-» на карте России немало: деревни Избище, Избино, Избичи. В таком случае фамилия отвечала на вопрос «откуда?» и закреплялась за переселенцем, который перебрался в другую местность и получил прозвище по прежнему дому.

Есть и другой путь — через прозвище. В говорах «избить» могло означать не только нанести побои, но и, например, «вымолотить зерно» или «отделать лен». Человек, чьим ремеслом была молотьба или обработка льна, мог получить прозвище Избийка — «тот, кто избивает». Суффикс -ий в таком случае превращает прозвище в фамилию-прилагательное: Избийкий — «относящийся к Избийке», то есть сын или потомок этого человека.

Словообразовательная модель здесь архаичная. В XVII–XVIII веках такие фамилии на -ий были типичны для южнорусских и украинских земель, где притяжательные прилагательные образовывали фамилии напрямую от прозвищ без дополнительных суффиксов. В северных и центральных областях России чаще использовали -ов/-ев или -ин. Поэтому Избийкий может указывать на корни из западнорусских или малороссийских губерний.

Сословная принадлежность предков неясна. Фамилия не пахнет дворянством — слишком прозрачная бытовая основа. Скорее всего, её носили крестьяне или однодворцы, а в редких случаях — мещане. В дореволюционных метрических книгах фамилия встречается эпизодически, в основном на территории современных Брянской, Смоленской областей и востока Беларуси.

В написании возможна путаница: фамилию могли записать как Избийский (через -ский), но это уже другая модель — типичная для польской или украинской шляхты. Вариант Избийкий с кратким суффиксом — более редкий и, вероятно, более древний по форме. Если ваши предки писались именно так, это хороший повод проверить ревизские сказки по западным уездам Российской империи.