Фамилия Извольский — типичная «географическая» фамилия, образованная от названия местности, откуда был родом её первый носитель. В основе лежит топоним Извольск. В России известно как минимум одно такое село — в Калужской области. Само название Извольск, скорее всего, связано с диалектным словом «изволье», которое в рязанских и владимирских говорах означало «раздолье, привольная местность». Так что предок Извольских мог быть выходцем из села, стоявшего на открытом, вольном месте.

Модель образования фамилии проста: суффикс -ск- указывает на принадлежность к местности или на происхождение из неё. Окончание -ий (в мужском роде) — стандартное для русских дворянских фамилий, которые нередко оформлялись по образцу прилагательных. Именно по такой схеме в XVI–XVII веках складывались фамилии служилого сословия, владевшего землями или имевшего вотчины в определённой местности.

С Извольскими связан известный дворянский род. По родословным преданиям, его основал Василий Дмитриевич Извольский, который выехал из Польши в Москву во второй половине XV века. Документально род прослеживается с XVI века: Елисей Яковлевич Извольский по прозвищу Булгак служил воеводой в Дедилове, Викула Федорович был судьёй Разбойного приказа и думным дворянином, а Александр Петрович Извольский представлял Россию при папском престоле. Род внесён в VI часть родословной книги Владимирской губернии — это часть, куда записывали древнее столбовое дворянство.

Точное время и место возникновения самой фамилии установить сложно: процесс закрепления фамилий у разных слоёв населения растянулся на столетия. Но ясно, что Извольские — не случайное прозвище, а фамилия, связанная с конкретным географическим пунктом и с историей русского служилого дворянства.