Фамилия Извольская — одна из тех, что прямо указывает на место, откуда пошёл род. Её основа — топоним Извольск, село в Калужской области. Но сам этот населённый пункт, скорее всего, получил имя от диалектного слова «изволье». В рязанских и владимирских говорах так называли привольную, раздольную местность. То есть предок Извольских мог жить на широком просторе, и это закрепилось в названии села, а затем и в фамилии.

Словообразовательная модель здесь классическая для дворянских фамилий: суффикс -ск- указывает на принадлежность к местности или владению ею. Окончание -ая — форма женского рода, но сама фамилия, конечно, передаётся по мужской линии. Если бы речь шла о крестьянине, скорее всего, появился бы вариант Извольский.

В истории известен русский дворянский род Извольских. По преданию, его основатель, Василий Дмитриевич Извольский, выехал из Польши в Москву во второй половине XV века. Дальше — целая череда заметных фигур. Елисей Яковлевич Извольский, прозванный Булгак, служил воеводой в Дедилове. Викула Федорович был судьёй разбойного приказа и думным дворянином. А Александр Петрович Извольский представлял Россию при папском престоле — уже в XIX веке. Род внесён в VI часть родословной книги Владимирской губернии, что подтверждает его древнее дворянское происхождение.

Интересная деталь: фамилия Извольская, несмотря на дворянский статус, не стала массовой. Она редка даже в среде потомственных дворян. Это объясняется тем, что род был немногочисленным, а после революции многие его представители эмигрировали. Сегодня носители фамилии встречаются в основном в центральной России и в среде русской эмиграции.