Фамилия Извольцев — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с волеизъявлением, а не с географией. Вопреки интуиции, корень здесь не «извол» в значении «желание, воля», а глагол «изволить» — то есть соизволить, согласиться, соблаговолить. В старом русском быту слово «изволь» было вежливой формой приглашения или разрешения: «Извольте садиться», «Изволь, бери».

Прозвище Изволец могли дать человеку, который часто употреблял это слово в речи — возможно, учтивому, обходительному, или, напротив, тому, кто любил поучать и разрешать. В северных и центральных говорах «извольщик» означало слугу или исполнителя, который был «при изволе» — то есть при барской воле, всегда готовый услужить. Соответственно, Изволец — это либо вежливый человек, либо слуга, либо, в ироничном ключе, тот, кто слишком часто напоминал о своей готовности «изволить».

Суффикс -цев указывает на патронимическую модель: от прозвища Изволец образовано притяжательное прилагательное (Извольцев сын), которое со временем закрепилось как фамилия. Такая модель типична для центральной России и Поволжья, где -ев/-ов встречается чаще, чем -ин. Фамилия Извольцев не относится к числу дворянских — её носители были, скорее всего, крестьянами или мещанами, получившими фамилию по прозвищу предка.

Интересно, что фамилия могла возникнуть и в среде старообрядцев: в их обиходе «изволить» означало «благоволить, иметь милость», и прозвище могло закрепиться за наставником или уважаемым членом общины. Однако это лишь гипотеза — прямых подтверждений в ономастических словарях нет.

По данным современных телефонных справочников, Извольцевы встречаются в основном в Вологодской, Костромской и Кировской областях, что косвенно подтверждает севернорусское происхождение прозвища. Встречается также вариант Извольский — но это уже топонимическая фамилия, не родственная Извольцеву.