Фамилия Изянин — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает все остальные версии. В основе фамилии лежит не личное имя, не прозвище и не профессия, а топоним — название реки Иж (в старых формах — Ижь, Ижа). Река Иж протекает в Удмуртии и Татарстане, на ней стоит город Ижевск. Житель берегов Ижа назывался «ижанин» или «иженин». В разговорной речи, особенно в северных и волжских говорах, где «ж» могло заменяться на «з», а гласные редуцироваться, форма «ижанин» легко превращалась в «Изянин». Подтверждение этому — историческое название жителей Ижевского завода: их называли «ижевцами», но в документах XVIII–XIX веков встречаются и варианты вроде «ижане» и производные фамилии от этой основы.

Модель образования проста: топоним + суффикс принадлежности -ин. В русской ономастике суффикс -ин обычно указывает на родство или связь с кем-то или чем-то: «чей?» — Изянин, то есть «потомок ижанина» или «человек с Ижа». Фамилия могла закрепиться за переселенцем, который перебрался в другой регион и получил прозвище по месту прежнего жительства. Например, в метрических книгах Пермской губернии XIX века фиксируются крестьяне с фамилией Изянин — это логично, так как именно с Урала и Прикамья шла активная миграция с реки Иж в другие области.

Есть и альтернативная, но менее убедительная версия: от канонического имени Исай (Исаия) через его просторечную форму Изя. В таком случае Изянин означало бы «сын Изи». Однако эта гипотеза слаба, потому что фамилии на -янин от личных имён почти не образуются: суффикс -янин/-анин — типично топонимический, он обозначает жителя местности (рижанин, парижанин). Для отчества от имени Изя естественнее была бы форма Изьин или Изев. Поэтому топонимическая версия с рекой Иж остаётся основной.

Фамилия Изянин не относится к числу дворянских или купеческих — это крестьянская и мещанская фамилия, распространённая в основном в Вятской, Пермской и Уфимской губерниях. В советское время носители фамилии встречались преимущественно в Удмуртии и соседних областях, что дополнительно подтверждает связь с Ижевским регионом. Если вы носите эту фамилию, ваши предки с высокой вероятностью жили на берегах Ижа и занимались либо ремёслами, связанными с водой, либо работали на ижевских заводах.