Фамилия Качеишвили — грузинская, и её разговор стоит начать не с корня, а с суффикса. Окончание -швили в грузинских фамилиях означает «сын» или «дитя». Это одна из самых распространённых моделей в восточной Грузии (особенно в Кахетии и Картли), в отличие от западногрузинского -дзе. Так что носитель фамилии Качеишвили — потомок человека по прозвищу или имени Качеи.

Основа «Качеи» неочевидна. В грузинском языке есть слово «каци» (კაცი) — «человек», «мужчина». Если предположить, что Качеи — это вариант или производная от «каци» с каким-то аффиксом, то фамилия могла означать «сын человека» или «сын мужа». Однако это слишком общее значение, и вряд ли прозвище строилось так прямолинейно. Более вероятно, что Качеи — это усечённая форма от личного имени, например, от Николая (Нико) или другого имени, которое в бытовой речи сократили до Кача или Качеи. В грузинской антропонимике такие сокращения — обычное дело.

Есть и другая версия: «качеи» может быть связано с диалектным словом, обозначающим род занятий или особенность внешности. Например, в некоторых говорах «кача» — это нечто вроде «коротышка» или «увалень». Но эта гипотеза слабая, и подтверждений ей в ономастических справочниках почти нет. Поэтому правдоподобнее считать, что фамилия образована от имени или прозвища, которое со временем утратило прозрачную мотивировку.

Географически фамилия Качеишвили тяготеет к восточной Грузии, но не является исключительно редкой — встречается и в Тбилиси, и в регионах. По сословному составу предки могли быть и крестьянами, и горожанами, и духовными лицами: грузинская модель на -швили не указывает на аристократическое происхождение (в отличие от -дзе в некоторых контекстах), а скорее фиксирует родовую связь. Известных исторических личностей с этой фамилией, вошедших в общероссийские или мировые энциклопедии, нет, что типично для фамилий, не связанных с княжескими родами.

Коротко: Качеишвили — «сын Качеи», где Качеи, скорее всего, сокращение от личного имени или бытовое прозвище. Фамилия чисто грузинская, восточного типа, без сложных этимологических загадок, но с живой историей в семейных преданиях.