Фамилия Калявкина — женская форма фамилии Калявкин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Модель на -ин указывает на притяжательность: такую фамилию давали по отцу, чьё прозвище или имя оканчивалось на -а или -я. Калявкин — буквально «сын Калявки» или «человек из семьи Калявки». Значит, основа здесь — прозвище Калявка.

Что означает само слово «калявка»? В русских говорах у него несколько значений, и все они связаны с диалектной лексикой. В рязанских и тамбовских говорах калявкой называли небольшую рыбу — ерша или пескаря. В вятских говорах слово могло означать «карапуз», «малорослый человек» или, наоборот, «непоседу» (от глагола «калякать» — болтать). Есть и версия, что калявка — это «закорючка», «кривая линия», и тогда прозвище могли дать человеку с неровной походкой или кривыми ногами.

Самая правдоподобная версия — прозвище по внешности или поведению. Если предок был маленького роста, вертлявым или любил поговорить, его в быту звали Калявкой. Фамилия не дворянская и не книжная — она сложилась в крестьянской или ремесленной среде и закрепилась в XVI–XVII веках, когда на Руси массово оформлялись фамилии на -ин и -ов.

Географически фамилия Калявкина тяготеет к центральным регионам России. По данным переписей XIX века, носители чаще всего встречались в Рязанской, Тамбовской и Нижегородской губерниях. Это совпадает с ареалом бытования диалектного слова «калявка» в значении «рыбка» или «малыш».

Редкость фамилии в том, что её основа почти не встречается в других славянских языках — это чисто русское диалектное прозвище, не перешедшее в литературный язык. Сравните с однокоренными фамилиями вроде Калякин (от «каляка» — болтун) или Калашников (от «калач»): Калявкин стоит особняком, потому что его корень не связан с ремеслом или именем, а уходит в бытовую, почти деревенскую метафору.