Фамилия Канюкаев — редкая, и её разбор требует внимания к неочевидным деталям. В ней сразу бросается в глаза суффикс -аев, который в русских фамилиях чаще встречается в тюркском или мордовском варианте, чем в чисто славянском. По сути, это фонетический вариант суффикса -еев: если основа оканчивается на твердый согласный или гласный «а», то в написании закрепляется -аев.

Основа — «Канюка», и здесь нужно разобраться, от какого слова она пошла. Первая и самая прямая версия — от прозвища «Канюка». В русских говорах «канюка» или «каня» — это хищная птица, канюк (сарыч). Прозвище Канюка могли дать человеку с плаксивым голосом (глагол «канючить»), либо тому, кто внешне или по характеру напоминал эту птицу — несуетливый, зоркий, возможно, невысокого роста. В словаре В. И. Даля «канюка» — это и птица, и плакса, и попрошайка. Прозвища по птицам в крестьянской среде были обычным делом, так что версия с «канюком» самая естественная.

Вторая версия — от имени Канюк, которое могло быть сокращением от канонического имени Каннидий (редкое греческое имя) или от славянского имени Кан (например, от «кануть» — исчезнуть). Но это уже натяжка: в ономастических справочниках (например, у С. Б. Веселовского) фамилии на -юк обычно связаны с прозвищами, а не с крестильными именами. Поэтому версия с птицей или плаксивым человеком правдоподобнее.

Географически фамилия Канюкаев встречается в основном в Поволжье и на Южном Урале, в среде, где русские фамилии смешивались с тюркскими и финно-угорскими моделями. Суффикс -аев здесь может указывать на то, что фамилия оформлялась в регионе, где было сильное влияние татарского или башкирского языка, где патронимический суффикс звучал как -аев/-уев. Но сама основа — чисто русская, славянская.

Сравните с однокоренными фамилиями: Канюков (более распространённая, без суффикса -а-, от той же птицы), Канюшкин (уменьшительная форма), Канюгин. Канюкаев стоит особняком — это более архаичная и редкая форма, сохранившая полное прозвище в основе. В XVIII–XIX веках такие фамилии часто закреплялись за однодворцами или государственными крестьянами южных губерний, где прозвища были живучи.

Если ваши предки носили фамилию Канюкаев, скорее всего, родоначальник получил прозвище за голос или повадки — либо канючил, либо был похож на канюка. Никакого тайного дворянского смысла или иностранного корня здесь нет: это чистая бытовая ономастика, которая рассказывает о человеке из народа, жившего три-четыре века назад.