Фамилия Карабаджи — случай, когда географическое происхождение почти очевидно, а вот внутренняя форма слова допускает разные толкования. Это не типичная русская фамилия на -ов или -ин, а скорее тюркская или греческая по основе, что сразу указывает на южные регионы бывшей Российской империи.

Самый прямой путь к значению — разбить слово на две части: «кара» и «баджи». «Кара» в тюркских языках (турецком, крымскотатарском, азербайджанском) означает «черный», но часто используется и в переносных смыслах: «сильный», «суровый», «простой» или даже как компонент географических названий (Кара-Даг — Черная гора). Вторая часть — «баджи» — сложнее. Это может быть искаженное турецкое «bacı» (сестра, часто старшая), но в контексте фамилии такое прозвище маловероятно для мужчины. Более правдоподобна версия, что «баджи» — это вариант слова «баджа» или «баджи» в значении «налог», «пошлина», «сбор» (от персидского «бадж»). Тогда Карабаджи — прозвище сборщика податей или человека, ведавшего «черным» (то есть тяжелым, обременительным) налогом. Однако есть и другая, бытовая версия: в некоторых тюркских диалектах «баджи» — это «лягушка». Соответственно, «карабаджи» — «черная лягушка», прозвище по внешнему сходству или по месту обитания.

Нельзя сбрасывать со счетов и греческий след. Фамилия встречается у понтийских греков, выходцев из Малой Азии и Причерноморья. В греческом языке «кара» (κάρα) — голова, а «баджи» могло быть заимствованием из турецкого. В таком случае Карабаджи — это переосмысленная фамилия, где тюркский корень получил греческое оформление. Носители фамилии могли быть торговцами, мелкими чиновниками или ремесленниками, жившими на территории Османской империи, а затем переселившимися в Россию (в Крым, на Кубань, в Приазовье).

Суффикс -и (а не -ов или -оглу) указывает на модель образования, характерную для фамилий южного берега Крыма и некоторых групп греков-урумов. Такие фамилии не склоняются в мужском роде и часто оканчиваются на -и, -у, -джи. Карабаджи — одна из них. Если искать однокоренные параллели, можно вспомнить фамилию Карабаджак (с тем же корнем «кара» и, возможно, с тем же «бадж»), но Карабаджи стоит особняком из-за редкого окончания.

Итог: фамилия Карабаджи — скорее всего, тюркская по корням, но могла закрепиться в греческой или крымскотатарской среде. Исходное прозвище — либо «черная лягушка» (по внешности), либо «сборщик черного налога» (по профессии). Второй вариант кажется более весомым, поскольку прозвища по должности давали чаще, чем по случайному сходству с земноводным.