Фамилия Карфагенайский — случай редкий и с первого взгляда экзотический. Её основа отсылает к древнему городу Карфагену, разрушенному римлянами ещё в 146 году до нашей эры. Но, разумеется, предки носителя этой фамилии не были финикийскими мореплавателями или пунийскими жрецами. В русской ономастике такие «географические» фамилии часто возникали в семинарской среде.

Ключ к разгадке — суффикс -айск-, который вместе с окончанием -ий образует типичную модель для искусственных, книжных фамилий. В XVIII–XIX веках, при поступлении в духовные училища и семинарии, ученикам нередко меняли бытовые фамилии на более благозвучные и «учёные». Их образовывали от названий городов, рек, церковных праздников или библейских имён. Так появлялись Афинский, Иерусалимский, Римский и — Карфагенайский. Скорее всего, её дали будущему священнику или церковнослужителю за красивое звучание, без прямой связи с местом рождения.

Впрочем, есть и более прозаичная версия. В некоторых южнорусских говорах слово «карфаген» или искажённое «карфагена» могло быть прозвищем — например, для человека с тёмной кожей, смуглого, черноволосого, или просто для того, кто любил рассказывать о дальних странах. Тогда суффикс -айск- — это уже позднейшее оформление прозвища в фамилию, возможно, тоже через семинарию, где прозвище «облагородили» под стать античной истории.

Обратите внимание на написание: Карфагенайский, а не «Карфагенский». Лишний слог -ай- — характерный признак именно семинарской модели (сравните: Афины — Афинский, но по той же логике могли образовать и «Афинайский»). Это ещё один аргумент в пользу искусственного, «кабинетного» происхождения. Встречается фамилия крайне редко, в основном в центральных и южных губерниях Российской империи, где были сильны традиции духовного образования. Носители её, скорее всего, происходили из семей приходского духовенства или из мещан, получивших фамилию при обучении.