Фамилия Карюгиин — редкий случай, когда на письме закрепилось удвоенное «и». В большинстве русских фамилий на -ин, образованных от слов или имён на -а/-я, пишется одна «и»: Карюгин. Двойное «ии» могло возникнуть из-за того, что исходная основа заканчивалась на -ий (например, прозвище Карый, Карюгий), и при присоединении суффикса -ин появилось стечение гласных. Но куда вероятнее, что это орфографическая случайность или особенность конкретной ветви рода, зафиксированная в документах.

Основа фамилии — «карюг-». Скорее всего, это диалектное или прозвищное слово. В русских говорах «карый» означает тёмно-рыжий, карий (о цвете глаз или масти животных). Суффикс -юг- (как в «серюга», «зверюга») придаёт слову увеличительное или пренебрежительное значение. Таким образом, Карюга — это либо человек с очень тёмными, карими глазами, либо обладатель рыжей шевелюры, либо прозвище по характеру (что-то вроде «угрюмый», «суровый»). В ономастике такой тип прозвищ — отличительный признак внешности — один из самых частых.

Фамилия Карюгиин (и её вариант Карюгин) бытует преимущественно в центральных и северных областях России. В документах XVII–XVIII веков можно встретить крестьян и посадских людей с такой фамилией в Вологодской, Костромской и Вятской губерниях. Социальный состав — почти исключительно крестьяне и мещане, никакого дворянского корня у этой фамилии нет.

Модель образования простая: прозвище Карюга → притяжательное прилагательное «Карюгин» (чей? — сын Карюги) → фамилия. Если верить версии с удвоением, то от полной формы прилагательного на -ий: «Карюгий» → «Карюгиин» (сын Карюгия). Но в бытовой речи и старых переписях такое удвоение почти не встречается — это почти наверняка особенность современного написания, которую стоит учитывать при поиске предков: в архивах фамилия, скорее всего, писалась с одной «и».