Фамилия Карыжский — хороший пример того, как географическое название становится родовым. Её основа — почти наверняка топоним, то есть название населённого пункта. В русском языке суффикс -ск- в фамилиях чаще всего указывает на происхождение из места: Дубровский — из Дубровки, Троицкий — из Троицка. Карыжский, соответственно, тот, кто родом из Карыжа или Карыжки.

Где искать этот Карыж? Скорее всего, в западных или юго-западных регионах России, в зоне исторического влияния украинского и белорусского языков. Там нередки топонимы с корнем «кар» — от «карать» (наказывать) или от тюркского «кара» (чёрный). Вторая версия правдоподобнее: «кара» в значении «чёрный» плюс суффикс -ыж- (как в «черныш» или «голыш») даёт «Карыж» — что-то вроде «черное место», «чернота». Это могло быть название речки, болота или урочища с тёмной водой или торфяным дном.

В Севском уезде Орловской губернии (ныне Брянская область) действительно существовало село Карыж. Выходцы оттуда и получали фамилию Карыжский. Другие варианты — Карыжский из деревни Карыжка (такая есть в Курской области) или из хутора с похожим именем на Украине.

Модель образования проста: топоним Карыж + суффикс -ск- + окончание -ий. Такие фамилии в России исторически закреплялись за дворянством и духовенством, но в XIX веке их активно получали и крестьяне при переписях — если человек переселялся из одного села в другое или его записывали по месту рождения. Поэтому Карыжский мог быть и священником, и однодворцем, и крестьянином, переехавшим в другую губернию.

Интересная деталь: фамилия редкая, её нет в массовых списках вроде «тысячи самых частых русских фамилий». Это значит, что предки носителя, скорее всего, не разбредались по всей стране, а оставались компактно в пределах своего региона — Черниговщины, Брянщины или Курщины. Искать корни стоит именно там, в архивах этих областей.