Фамилия Катюряева звучит редко, и её разбор — скорее работа с гипотезами, чем с готовыми словарными статьями. Она явно женского рода (форма Катюряев), и первый вопрос, который встаёт перед исследователем: что за основа «Катюр»?

Самое вероятное объяснение лежит в области личных имён. Основа «Катюр» могла быть производной от канонического имени Катерина (Екатерина). В русских говорах имя Катерина сокращали до Катюра — по той же модели, что Мария → Маруся, а Маруся → Марюра. Суффикс -ур- в таких уменьшительных формах встречается, хоть и не так часто, как -уш- или -юш-. Если это так, то Катюря — это ласковое или обиходное прозвище Екатерины, а Катюряевы — потомки женщины по имени Катюря. Фамилии на -ин, образованные от женских имён, в крестьянской среде не редкость: вспомним Марьин, Татьянин. Однако здесь суффикс -ев, что указывает на основу, оканчивающуюся на мягкий согласный или -й. «Катюря» как раз даёт «Катюрев» — и форма Катюряев могла закрепиться через ять или под влиянием акающих говоров.

Вторая версия — от прозвища, связанного с глаголом «катюрить». В некоторых северных и сибирских говорах это слово означало «катить, тащить что-то тяжёлое» или, в переносном смысле, «бродяжничать, скитаться». Прозвище Катюря могли дать человеку непоседливому, вечно в дороге, или тому, кто работал возчиком, бурлаком. Фамилии от таких глагольных основ в русском языке есть — например, Торопыгин (от «торопиться») или Болдырев (от «болдырить»). Но «катюрить» — слово узкорегиональное, и фамилия Катюряева могла сохранить память о местном диалекте, который сейчас почти исчез.

Морфология фамилии стандартна: суффикс -ев присоединён к основе Катюря-. Форма на -яев (а не -ев) — это результат исторического чередования: в древнерусском языке после мягких согласных писали «ѣ» (ять), который позже в ряде говоров перешёл в «я». То есть изначально писали «Катюрев», а в устной речи — «Катюряев», и со временем написание закрепилось по произношению.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным областям России. Встречается она редко, и это говорит о том, что род мог быть немногочисленным или фамилия закрепилась в одном-двух сёлах. Сословно — скорее всего, крестьянское происхождение: фамилии на -ев от прозвищ и уменьшительных имён в дворянской среде почти не встречались.

Коротко: если вы Катюряева, ваши предки, вероятно, были либо потомками женщины по имени Катюря (домашняя форма Екатерины), либо людьми, получившими прозвище за манеру «катюрить» — таскать, возить или бродить. Обе версии имеют право на существование, но первая (от имени) выглядит надёжнее: слишком уж редок глагол «катюрить», чтобы на нём строилась целая фамилия.