Фамилия Кайбырова образована от мужского имени Кайбыр, а оно, в свою очередь, восходит к тюркскому слову «кайбыр» — «некоторый, некий». В татарской и башкирской среде такое имя могло даваться с пожелательным или обережным смыслом: назвать ребёнка «каким-то», «неопределённым», чтобы уберечь от сглаза или злых сил. Это типичная для тюркских народов практика — давать ребёнку имя с оттенком незначительности или неопределённости, чтобы не привлекать к нему излишнего внимания.

Фамилия строится по стандартной для Поволжья модели: на тюркскую основу наращивается русский патронимический суффикс -ов (в женском роде — -а). Таких фамилий, образованных от прозвищ и имён, заимствованных из арабского или тюркского фонда, в XIX веке появилось множество у татар, башкир, мишарей и других народов, принявших русскую форму записи. Кайбырова — не исключение: это фамилия, фиксирующая имя отца или деда.

Встречается она преимущественно в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях. Носители фамилии — в основном потомки крещёных или некрещёных татар, реже — башкир. Интересно, что в некоторых говорах слово «кайбыр» могло означать не просто «некий», а «чудаковатый, странный» — тогда прозвище могло закрепиться за человеком с необычным поведением.

Женская форма Кайбырова — это не отдельная фамилия, а грамматический вариант: в русской традиции так записывали дочерей и жён, а мужская форма — Кайбыров. Обе формы восходят к одному корню, и искать их историю следует вместе.