Фамилия Кажемакс — настолько редкая, что в привычных ономастических справочниках её не найти. Её происхождение приходится реконструировать по косвенным признакам: по звучанию, по модели образования, по возможным языковым источникам. Сразу ясно одно: фамилия не исконно русская в классическом смысле, то есть не образована от православного имени или славянского прозвища с помощью суффиксов -ов, -ин, -ский. Её основа явно иноязычная, и здесь возможны два основных пути.

Первый и самый вероятный — это немецкая или прибалтийская фамилия, переделанная на русский лад. В немецком языке есть фамилия Kagemax (или Kagemaх), которая может быть сложена из двух частей: «Kage» (от средневерхненемецкого «kage» — клетка, темница, или от фамилии Kage) и «Machs» (возможно, искажённое «Macht» — сила, мощь, или «Max» — сокращение от имени Максимилиан). В таком случае Кажемакс — это фамилия, которую при переезде в Россию записали на слух, без учёта немецкой орфографии. Носители могли быть выходцами из немецких колоний Поволжья или Прибалтики, где такие составные фамилии встречались у ремесленников или мелких чиновников.

Второй вариант — искусственное происхождение. В XIX веке в России было модно давать семинаристам «благозвучные» фамилии на греческий или латинский лад. Кажемакс могла возникнуть как игра слов: от греческого «kakos» (плохой, злой) и «megas» (большой) — то есть «великий злодей». Но это скорее шуточная гипотеза: прямых доказательств, что фамилию давали в духовных училищах, нет. Семинарские фамилии обычно образовывали от названий церковных праздников, растений или греческих корней, но «Кажемакс» для этого слишком нестандартна.

По написанию фамилия не менялась: окончание на -с характерно для немецких фамилий, оканчивающихся на согласный, которые в русском языке сохраняют исходную форму. Ударение, скорее всего, падает на последний слог — Кажемакс, хотя в устной речи могли ставить на второй: Кажемакс.

География фамилии крайне узкая. В дореволюционных метрических книгах и современных базах данных Кажемакс встречается единично, в основном в центральных регионах России и в Сибири, куда ссылали колонистов. Если ваши предки носили эту фамилию, они, вероятно, были обрусевшими немцами или людьми из Прибалтики, которые занимались ремеслом или торговлей. Точнее сказать без архивных изысканий сложно — слишком редкая основа.