Фамилия Клюйвода — один из ярких примеров русских «говорящих» прозвищ, которые закрепились в качестве родового имени. Её основа — глагольная форма «клюй» (повелительное наклонение от «клевать») и существительное «вода». Прямое значение прозвища — «клюй воду», то есть человек, который якобы клюёт, пьёт или добывает воду, словно птица.

Такие прозвища в старину давали не столько за реальное занятие, сколько за характерную привычку, манеру поведения или внешнюю черту. Клюйводой могли назвать того, кто пил воду часто и жадно, словно склёвывая её, или, напротив, человека, который работал с водой — например, носил её, черпал, разливал. В народной этимологии иногда связывают фамилию с рыбаками или бурлаками, но прямых подтверждений этому нет.

Модель образования — прозвище в чистом виде, без суффикса. Такие фамилии (Клюй, Клюйвода, Тянивода, Гуляйвода) относятся к архаичному типу, когда прозвище перешло в фамилию без изменений. Это отличает их от более поздних фамилий на -ов/-ев или -ин. Встречается Клюйвода преимущественно в южнорусских и украинских регионах, где глагольные прозвища были особенно распространены.

В ономастических справочниках фамилия упоминается редко, что говорит о её локальном бытовании. Словарь русских фамилий В. А. Никонова не включает Клюйводу, но аналогичные модели — например, Гуляйгород или Дериглаз — описаны у Б. Унбегауна как характерные для донских казаков и крестьянского прозвищного фонда. Вероятно, предки носителя фамилии были из тех, кто жил у воды или занимался водным промыслом, но прозвище закрепилось скорее за бытовой особенностью, чем за профессией.

Фамилия не получила широкого распространения, не стала дворянской или купеческой, и в массе своей осталась крестьянской. Сегодня она встречается спорадически, в основном на юге России и в Украине, причём написание может варьироваться — Клюйвода, реже Клюивода. Встречаются и формы с ударением на первый или второй слог, что отражает местные говоры.