Фамилия Конер — одна из тех, что ставит исследователя перед выбором: какой язык считать исходным. Если не подгонять ответ под шаблон, а честно разобрать корень, то сразу видно, что фамилия не русская по происхождению, а пришлая, и вариантов её появления на свет минимум три.

Первый и самый вероятный путь — немецкий или еврейский (ашкеназский). В немецком «Kohner» или «Konner» — это фамилия, образованная от названия профессии. Слово «Kohner» могло означать угольщика (от «Kohle» — уголь) или человека, живущего у печи для обжига угля. В таком случае предок носителя фамилии Конер был ремесленником, связанным с добычей или переработкой древесного угля, — занятие в Средневековье распространённое и важное для металлургии и быта. Второй немецкий вариант — от топонима Кон (Kohn) в Баварии или Саксонии, тогда фамилия указывала на выходца из этого места.

Второй путь — венгерский или словацкий. В этих языках «konár» означает «сук» или «ветка», а «koner» — уменьшительная форма. Прозвище могли дать человеку с длинными руками, худощавому или, наоборот, упрямому, «суковатому». Венгерские фамилии часто оканчиваются на -ер, так что такой вариант не редкость.

Третий, более редкий, — славянский, но не русский. В польском или чешском «konar» — тоже «сук», а «koner» могло быть прозвищем лесоруба или плотника. Однако суффикс -ер для восточнославянских фамилий нетипичен, поэтому если Конер встречается в России или Украине, это почти наверняка принесённая фамилия, а не местная.

География бытования подсказывает: фамилия Конер встречается у евреев-ашкеназов (как вариант Коган или Кон), у немцев Поволжья, а также у венгров и словаков. В русских документах она могла появиться в XIX веке вместе с переселенцами или в результате кантонистской рекрутчины, когда инородцам давали фамилии по прозвищу.

Ударение, скорее всего, на первый слог — Кóнер, хотя в немецком варианте может быть и на последний, если это от фамилии Конер с ударением на второй слог. Однокоренных русских фамилий нет, но есть родственные немецкие Кёнер, Конерт, Конар.

Итог: если вы Конер, то с большой вероятностью ваши предки — немцы-угольщики или венгры из лесных регионов. Фамилия редкая, не дворянская, а ремесленная или прозвищная, и это нормально — такие фамилии хранят память о деле или черте, а не о титуле.