Фамилия Косодрига — редкий случай, когда прозвище почти не нуждается в расшифровке: оно сложено из двух корней, «косо-» и «-дрига». Второй элемент — диалектный глагол «дригать» (дрыгать, дёргать, трясти). В разных говорах «дригаться» означало «суетиться, мелко дрожать» или, напротив, «лягаться, брыкаться». Соответственно, Косодригой в народе могли прозвать человека с неловкой, дерганой походкой, криво сидящую лошадь или даже несуразное, криво сколоченное орудие.

Фамилия образована по типичной для русских прозвищ модели: глагольная основа плюс нулевой суффикс (ср. Вертишейка, Скопидом, Держиморда). Отсутствие суффикса -ов/-ев или -ин указывает, что перед нами не патроним (не «сын такого-то»), а застывшее прозвище, которое перешло в фамилию без изменений. Такие фамилии чаще встречаются на юге России, в Украине и Беларуси, где прозвищный тип удержался дольше, чем в северных регионах, где господствовали притяжательные формы на -ов/-ев.

В словаре Веселовского «Ономастикон» и в работах Никонова фамилия не фиксируется — это говорит о её локальном бытовании. Вероятнее всего, Косодрига — фамилия крестьянская, возникшая в среде, где внешняя примета или комичная черта поведения легко становились родовым именем. Никакого отношения к «драть» (сдирать кожу) или «коса» (инструмент) она не имеет: глагол «дригать» семантически далёк от этих корней.

Поскольку фамилия не была распространена среди дворянства или духовенства, в исторических документах она почти не встречается. Её носители — потомки людей, которых когда-то в глаза или за глаза назвали Косодригой за манеру дёргаться, идти вразвалку или косить ногами при ходьбе.