Фамилия Кучинкая — это, скорее всего, искажённая запись фамилии Кучинская. В русской ономастике окончание -ая характерно для женского варианта фамилий на -ский/-цкий, но в бытовой речи или при переписи её могли закрепить как неизменяемую форму. Если вы встретили именно такое написание, велика вероятность, что перед вами не мужская, а женская фамилия (Кучинская), которую по ошибке или из-за особенностей произношения записали без смягчения согласного.

Разберём основу. Корень «Куч-» восходит к прозвищу или имени Ку́ча. В древнерусском языке «куча» означала не только груду чего-либо, но и сходку, толпу, а в диалектах — даже беспорядок. Прозвище Куча могли дать человеку плотного телосложения, либо тому, кто жил в многолюдной семье, либо, наоборот, нелюдимому и сварливому — в зависимости от контекста. Суффикс -ин- (Кучин) указывает на принадлежность: «сын Кучи». Далее модель -ский/-цкий (Кучинский) превращает отчество в фамилию дворянского или шляхетского типа, но на деле её носили и крестьяне, и мещане, особенно в западных губерниях Российской империи.

Если фамилия Кучинкая (Кучинская) встречается в современных документах, её носители, скорее всего, происходят из регионов, где были сильны польские или украинские влияния: Беларусь, запад России, Украина. Там фамилии на -ский массово получали не только дворяне, но и крестьяне после отмены крепостного права, когда нужно было записать всех в ревизские сказки.

Таким образом, прародитель Кучинских — человек с прозвищем Куча. Кем он был: плотным мужиком, главой большой семьи или просто обладателем громкого голоса — сказать трудно. Но фамилия точно не редкая, а её написание через «ая» — скорее исключение, чем правило, и часто возникает из-за невнимательности писаря или местного говора.