Фамилия Кучукбаев — тюркская по происхождению, и её разбор стоит начать с основы, а не с суффикса. В ней отчётливо слышны два компонента: «кучук» и «бай». Первое слово в тюркских языках (татарском, башкирском, казахском, кумыкском) означает «маленький», «младший», «щенок». Второе — «бай» — переводится как «богатый», «господин», «хозяин». Вместе «Кучукбай» — это составное личное имя, которое давали мальчику. Смысл такого имени двойной: либо «маленький богач» (ласкательно-уменьшительное), либо «младший сын богатого человека». В тюркской антропонимике имена с компонентом «бай» были чрезвычайно популярны — они выражали пожелание благополучия и статуса.

Русский суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного) присоединился к основе Кучукбай уже на русской почве, когда фамилию фиксировали в документах. Модель образования стандартна для многих нерусских фамилий в России: тюркское имя плюс русский патронимический суффикс. То есть Кучукбаев буквально означает «сын Кучукбая» или «потомок Кучукбая».

География фамилии довольно узкая. Она распространена прежде всего среди башкир и татар, а также встречается у казахов. В башкирской среде имя Кучукбай (или Кесекбай) — нередкое, и фамилия Кучукбаев плотно привязана к южным и западным районам Башкортостана, а также к соседним областям — Оренбургской, Челябинской, Самарской. Встречаются варианты написания с одной «к» — Кучубаев, но это скорее результат упрощения при записи.

Интересная деталь: в некоторых тюркских диалектах «кучук» может означать не только «маленький», но и «собака», «щенок». В ономастике это не обязательно прозвище с негативным оттенком. У тюркских народов существовал обычай давать ребёнку «охранительное» имя, которое должно было обмануть злых духов — назвать сына Щенком, чтобы он выжил и вырос здоровым. Поэтому среди предков Кучукбаевых могли быть люди, носившие такое имя не из-за размеров или бедности, а по древней магической традиции.

Сословная принадлежность у этой фамилии не закреплена. Среди Кучукбаевых встречались и крестьяне, и служилые люди, и торговцы. В метрических книгах и ревизских сказках XIX века фамилия фиксируется в основном у башкир-вотчинников и тептярей (сословие, близкое к государственным крестьянам). Никаких громких исторических личностей с этой фамилией в общероссийском масштабе нет, но в локальной истории Башкортостана Кучукбаевы — вполне обычная и давняя фамилия, корнями уходящая в кочевое прошлое.