Фамилия Кулайкин образована по одной из самых продуктивных моделей русского именослова — с помощью суффикса принадлежности -ин. Этот суффикс присоединяли к основам, оканчивающимся на -а или -я, и означал он «чей?»: чей сын, чей работник, чей человек. В данном случае основа — Кулайка, а Кулайка — это не имя, а прозвище, уменьшительная форма от более старого прозвища Кулай.

Корень здесь — «кулак», но не в современном значении «сжатая кисть» или «зажиточный крестьянин». В древнерусском языке слово «кулак» имело и другое значение: «скупой человек, скряга» (от тюркского «кулак» — скупой). Однако гораздо вероятнее, что прозвище Кулай или Кулайка давали человеку с крепкими, сильными руками, кулачному бойцу, либо тому, кто промышлял кулачным боем — в старину это было распространённое зрелище и ремесло. В говорах встречается и слово «кулай» — так в некоторых регионах называли неуклюжего, неповоротливого человека, но эта версия менее убедительна.

Таким образом, Кулайкин — «сын Кулайки». Первые носители фамилии, скорее всего, жили в северных или центральных губерниях России, где суффикс -ин особенно распространён. Фамилия недворянская, крестьянская или мещанская: такие фамилии на -ин фиксировались у простых сословий после отмены крепостного права, когда крестьянам массово давали фамилии по прозвищам отцов.

Любопытно, что в некоторых записях XVII–XVIII веков встречается форма Кулайков — с суффиксом -ов, что указывает на южнорусский вариант той же фамилии. Кулайкин же — типичный северный вариант, где -ин вытеснил -ов. Если ваши предки родом из-под Архангельска, Вологды или Костромы, это хорошее совпадение. Носителей фамилии сегодня немного, она редкая, но не единичная — встречается в Поволжье и на Урале, куда переселялись крестьяне в XIX веке.