Фамилия Куючка настолько редкая, что в стандартных справочниках русских фамилий (Унбегаун, Никонов) её нет. Это не опечатка и не искажение — перед нами случай, когда фамилия сохранила исходное тюркское прозвище в почти нетронутом виде, без русского суффикса.

Корень «куюч» восходит к тюркским языкам, где означает «сила», «мощь», «энергия». В татарском, башкирском, казахском «куюч» — это физическая сила, могущество. Окончание «-ка» в русском быту часто превращало тюркские прозвища в уменьшительно-ласкательные или бытовые формы. Куючка — это, скорее всего, не полное имя, а прозвище: «Силач», «Крепыш» или, в переносном смысле, «Упрямец», которого не сломить.

Вероятнее всего, фамилия принадлежит к пласту так называемых «уличных» или «деревенских» прозвищ, которые закрепились за родом без переоформления в стандартные -ов, -ин или -ский. Такое часто встречается у поволжских татар, башкир, а также у русских, долго живших в тюркоязычном окружении (например, в Оренбуржье, Башкирии, Татарстане). Человек мог получить прозвище Куючка за недюжинную физическую силу, за способность выполнять тяжёлую работу в одиночку или за упрямый, несгибаемый характер.

Есть и более прозаичная версия: в некоторых тюркских диалектах «куюч» может быть связано с кузнечным делом (от «кую» — ковать). Тогда Куючка — это «Кузнечик» или «Молотобоец», то есть прозвище ремесленника. Но это менее вероятно: обычно кузнечные прозвища оформлялись через суффиксы профессий.

Фамилия недвусмысленно указывает на то, что предок носителя был заметной фигурой в своей общине — либо физически сильным работником, либо человеком с несгибаемой волей. Других версий, вроде связи с географическим названием или крестильным именем, у этой фамилии нет — корень слишком прозрачен и недвусмыслен.