Фамилия Кваша — одна из тех, что произошли напрямую от прозвища, без фамильных суффиксов. В древнерусской традиции так могли записать человека, не добавляя к основе типичные -ов, -ев или -ин. Само слово «кваша» в разных говорах означало и закваску, и кислое тесто, и блюдо из муки с солодом.

Чаще всего Квашей называли плаксу или капризного ребёнка — по аналогии с чем-то «заквашенным», кислым. Но прозвище могли дать и по внешности: тучному, рыхлому человеку, словно «подошедшему», как тесто. На Украине слово «кваша» обозначало блюдо из гречневой или ржаной муки, а прозвище там закреплялось за нерешительным, бесхарактерным человеком — видимо, за вялость и мягкость.

Таким образом, у фамилии нет единого корня — она могла возникнуть в разных регионах независимо, каждый раз отталкиваясь от местного значения слова. Встречается она и у русских, и у украинцев, причём на Украине часто сохранялась в исходной форме без суффикса, что типично для западнорусских и малороссийских фамилий.