Фамилия Квашков образована от прозвища Квашок — так в старину называли человека, имевшего отношение к квасу или квашне. Слово «квас» в древнерусском языке означало не только напиток, но и закваску, кислое тесто, а «квашня» — деревянную кадку для замеса. Прозвище могли дать либо квасовару, либо тому, кто постоянно возился с тестом, — пекарю или хлебопеку. В русских говорах встречается и слово «квашок» в значении «квасной жмых» или «осадок», что тоже могло стать основой для насмешливого уличного имени.

В словообразовании фамилии нет ничего необычного: суффикс -ов указывает на принадлежность, то есть Квашков — это «сын Квашка». Такая модель — одна из самых распространённых в русской антропонимии. Интересно, что в отличие от фамилии Квашин, которая тоже встречается, Квашков сохраняет в основе не «квашня», а именно «квашок» — уменьшительно-ласкательную или пренебрежительную форму. Это может говорить о том, что прозвище было дано не мастеру, а подмастерью или человеку с невысоким социальным статусом.

По данным переписей и писцовых книг, фамилия Квашков встречалась преимущественно в центральных и северных губерниях России — в Ярославской, Вологодской, Костромской. Там традиционно развивалось хлебопечение и квасоварение, так что ремесленная версия происхождения выглядит наиболее убедительной. Встречается также вариант Квашков с ударением на первый слог — это характерно для северных говоров, где слово «квас» произносили с долгим «а».

Исследователь русских фамилий Борис Унбегаун в своём труде «Русские фамилии» относит Квашковых к числу «профессиональных» фамилий, образованных от названий ремёсел. С этим согласны и современные ономасты: ничего татарского или иноязычного в этой фамилии нет, это чисто русский случай, когда прозвище по роду занятий со временем закрепилось за целым родом. Если ваши предки носили фамилию Квашков, скорее всего, они были людьми «хлебного» дела — квасниками, пекарями или мельниками.