Фамилия Лапицкий (именно так, через «ц», выглядит её нормативное написание) — один из тех случаев, когда географическая привязка оказывается важнее, чем этимология прозвища. Двойная «и» в окончании («Лапицкиий») — ошибка, скорее всего, канцелярская или бытовая: фамилия склоняется по образцу прилагательного, и в именительном падеже пишется одно «и»: Лапицкий.

Словообразовательная модель здесь прозрачна: суффикс -ск- указывает на происхождение от названия места. Такие фамилии в XVI–XVII веках получали в основном дворяне (по своим поместьям) и духовенство (по названиям сёл или храмов). Основа «Лапиц-» восходит к топониму вроде Лапицы, Лапичи, Лапицк. Такие названия нередки в Беларуси и на западе России: деревни Лапичи есть в Могилёвской и Гродненской областях, а Лапицы — в бывшей Витебской губернии. Корень, скорее всего, от слова «лапа» — в значении «лапчатый», «широкий», или от прозвища Лапа, которое давали человеку с большими руками или неуклюжей походкой.

Есть и вторая, менее вероятная версия: фамилия могла возникнуть от прозвища Лапица — уменьшительного от «лапа». Но суффикс -ск- почти всегда «топонимический», а не «патронимический» (то есть не от имени отца). Поэтому логичнее считать, что предок носителя фамилии был либо помещиком из села Лапицы, либо священником, служившим в храме, названном в честь этого села.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Лапин, Лаптев, Лапушкин — показывает, что Лапицкий стоит особняком: у него нет суффикса принадлежности (-ин, -ов), зато есть привязка к местности. Это значит, что в XVIII–XIX веках носители фамилии концентрировались в западных губерниях Российской империи (Могилёвская, Витебская, Минская). Встречаемость фамилии сегодня невысокая, но она устойчиво фиксируется в Беларуси, на Смоленщине и в Брянской области.

Так что, если вы встретили написание «Лапицкиий», перед вами, скорее всего, описка переписчика или паспортистки. Правильный вариант — Лапицкий, и он прямо говорит: предки этого человека жили в местечке, которое называли Лапицы или Лапичи.