Фамилия Лазавской — одна из тех, где написание подсказывает ответ быстрее, чем произношение. Форма на «-ской» (женский род от Лазавский) выдает принадлежность к польско-белорусской или украинской традиции образования фамилий. В русской среде такие фамилии обычно заканчиваются на «-ский», но в женском варианте сохраняют окончание «-ая» (Лазавская), что и зафиксировано в вашем вопросе.

Корень «Лазав-» почти наверняка связан с именем Лазарь. В восточнославянских землях это имя давали в честь библейского Лазаря, и в народной речи оно нередко давало производные формы: Лазав, Лазавка, Лазута. От прозвища Лазав (человек, которого в семье или в селе звали уменьшительно от Лазаря) образовали сначала родовое имя Лазавский — «принадлежащий Лазаву». Суффикс «-ский» в таких фамилиях чаще всего указывал на дворянское или шляхетское происхождение, но на практике в XIX веке его активно присваивали и крестьянам, и мещанам при переходе от отчества к фамилии.

Географически фамилия Лазавской (Лазавская) тяготеет к западным регионам: современная Беларусь, Украина, восточная Польша. Там топонимы с корнем «Лазав-» встречаются в названиях деревень (например, Лазавка в Гомельской области), и фамилия могла возникнуть и как топонимическая — от места жительства. В таком случае предок был «тем, кто из Лазавки».

Спорных версий здесь немного. Можно было бы предположить связь с диалектным глаголом «лазать» (лазить), но это маловероятно: основа «лазав» для прозвища «лазун» или «лазарь» нехарактерна, а имя Лазарь покрывает значение полностью. Так что наиболее правдоподобно: фамилия Лазавской — это либо отчество от формы Лазав (Лазарь), либо указание на выходцев из села с похожим названием. Оба варианта ведут в одну и ту же среду: крестьянскую или мелкошляхетскую, жившую на землях бывшей Речи Посполитой.