Фамилия Лэбига — редкая и нестандартная для русского слуха. Её происхождение почти наверняка не славянское, а немецкое или прибалтийское. В основе лежит немецкая фамилия Löbig или Lebig, которая, в свою очередь, восходит к средневерхненемецкому слову liep (милый, любимый). Так могли прозвать человека по характеру — ласкового, приятного в общении, или же это было уменьшительно-ласкательное прозвище от личного имени (например, от Лиебхард). В русской передаче немецкое ö (умлаут) часто переходило в «е» или «э», а конечное -ig давало -иг. Форма «Лэбига» с твёрдым «э» и ударением на первый слог характерна для обрусевших немецких фамилий, записанных на слух в XIX веке.

Интересно, что фамилия не получила типичного русского суффикса (-ов, -ин, -ский). Это указывает на то, что её носители, скорее всего, не были крестьянами или мещанами, которых массово «русифицировали» при записи в ревизские сказки. Лэбига — фамилия-прозвище в чистом виде, «голая» основа, без добавления патронимического окончания. Такое встречается у остзейских немцев, переселенцев из немецких колоний в Поволжье, а также у выходцев из Прибалтики (латышей или эстонцев, где фамилии часто не склонялись по-русски).

Второй возможный, но менее вероятный след — польская или белорусская основа. В польском есть слово łeb (лоб, башка), от которого могли образовать прозвище «Лэбига» — человек с большой головой или упрямый. Однако в этом случае фамилия скорее имела бы суффикс -ицкий или -ович. Немецкая версия выглядит убедительнее: она объясняет и редкий финал, и специфическое написание с буквой «э».

Географически фамилия Лэбига встречается в основном на западе России и в бывших губерниях, где жили немецкие колонисты (Саратовская, Самарская, Санкт-Петербургская). В современной России носителей немного, фамилия нечастотна. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах евангелическо-лютеранских церквей или в документах немецких колоний второй половины XIX века.