Фамилия Лемищак — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти не изменилось за века. Её носители, скорее всего, происходят с западноукраинских земель, входивших в состав Австро-Венгрии. Суффикс -ак указывает на принадлежность к роду или месту: так называли «сына того, кто Лемищ» или «человека из семьи Лемищей». В польской и украинской ономастике -ак — один из активных патронимических формантов (ср. Гончар — Гончарук, Коваль — Коваляк). Сама основа «лемищ» — это, скорее всего, искажённое или диалектное произношение слова «леміш» (лемех, сошник, часть плуга). В старину лемешом называли и сам плуг, и его режущую часть. Соответственно, Лемищак — потомок человека, связанного с изготовлением или ремонтом плугов: кузнеца-оружейника, сельского мастера или просто земледельца, получившего прозвище по орудию труда.

Другая версия, менее вероятная, но всё же возможная, — связь с глаголом «лемити» (в говорах — «лепить», «мазать»). Тогда прозвище мог получить гончар или строитель. Но в пользу «плужной» гипотезы говорит то, что в украинских фамилиях на -ак редко застывает глагольная основа без дополнительных суффиксов — обычно она оформляется как Леміщук, Леміщенко. Форма Лемищак более архаична и близка к прямому прозвищу: «Лемищ» — человек, который работает с лемехом.

Из-за редкости фамилия почти не попала в общероссийские переписи XIX века. Основной ареал — Ивано-Франковская, Тернопольская и Львовская области Украины, а также среди украинских эмигрантов в Канаде и США. Встречается и вариант написания через «і» — Леміщак, что подтверждает украинское происхождение. В польских записях XVIII–XIX веков можно найти форму Lemiszczak — с характерным для польской орфографии сочетанием «szcz». В любом случае, это фамилия ремесленная, крестьянская, без дворянского следа. Её носитель, живший триста лет назад, почти наверняка был сельским кузнецом или пахарем, которого соседи окликали по инструменту.