Фамилия Лемяцкая — нечастый случай, когда происхождение почти наверняка привязано к конкретному месту. Её основа — топоним Лемяты или Лемяцк. Такие названия встречаются в Беларуси, реже в западных областях России (например, деревня Лемяты в Витебской области). Суффикс -ск- в фамилии указывает на связь с географическим объектом, а окончание -ая — на женскую форму, которая исторически закрепилась за носительницей как «та, что из Лемят» или «из рода Лемяцких».

Мужской вариант фамилии — Лемяцкий. Такие фамилии на -ский/-цкий в XVI–XVII веках чаще всего получали дворяне и шляхта, бравшие фамилию по названию своего поместья. Однако на практике фамилии этого типа могли давать и крестьянам, переселившимся из одной деревни в другую: их записывали как «из Лемят», то есть Лемяцкий. Так что Лемяцкие могли быть как мелкопоместными землевладельцами, так и выходцами из одноимённого села.

Само название Лемяты, скорее всего, балтского происхождения. Корень «лем-» (ср. лит. lėmti — «определять, предрекать») или «lem-» в значении «изгиб, излучина реки» — частая основа в гидронимике Прибалтики и Беларуси. В белорусских говорах есть и слово «лямец» — войлок, но для названия деревни это менее вероятно.

Ударение в фамилии плавающее: в русской среде чаще говорят Лемя́цкая, в белорусской — Лемя́цкая или Лемяцка́я. Встречается и написание через «е» — Лемецкая, но это уже поздняя канцелярская ошибка, когда букву «я» заменяли на «е» при паспортизации.

Фамилия редкая, в списках частотных фамилий России и Беларуси не фигурирует. Основной ареал — Витебская и Минская области, а также Москва и Санкт-Петербург, куда носители переехали в XX веке. Если вы Лемяцкая, то, скорее всего, ваши предки жили в пределах современной Беларуси, и фамилия закрепилась за ними не позже XVIII века.