Фамилия Липявкина — женская форма, мужская — Липявкин. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Липявка. Разберём, что оно могло означать.

Первое, что приходит на ум, — связь со словом «липа». Липявкой могли назвать человека, жившего у липовой рощи, либо того, кто занимался заготовкой липового лыка или делал из липы поделки. В русских говорах слово «липявка» иногда употреблялось иронично — так называли вялого, медлительного человека (липа — мягкое дерево). Есть и другая версия: в некоторых диалектах «липявка» — это мелкая рыба, например, уклейка или пескарь. Тогда прозвище мог получить рыбак или человек маленького роста, худой.

Суффикс -к- в основе указывает, что прозвище образовано по уменьшительно-пренебрежительной модели. Такие формы были типичны для крестьянской среды XV–XVII веков, где человека могли назвать не по имени, а по внешности, занятию или повадке. Фамилии на -ин, как Липявкин, возникали от основ, оканчивающихся на -а/-я: Липявка → Липявкин (чей? — сын Липявки).

Географически фамилия редкая, встречается в основном в центральных и южных регионах России — в Тамбовской, Воронежской, Рязанской областях. Это косвенно подтверждает связь с липой: в чернозёмной зоне липовые леса были распространены, а лыко и мочало — важный промысел.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) прямого упоминания Липявкина нет, но модель образования типовая. Известных носителей фамилия не получила, что говорит о её сугубо крестьянском происхождении: предки Липявкиных, скорее всего, были государственными или помещичьими крестьянами, и фамилия закрепилась за ними после отмены крепостного права в 1861 году.

Сравните с однокоренными: Липкин, Липовкин, Липягин. Липявкин выделяется редким суффиксом -явк-, который встречается в прозвищах, образованных от глагольных форм (ср. «кривляка», «гуляка»). Возможно, изначально Липявка — не от «липы», а от диалектного глагола «липявить» — делать что-то небрежно, копаться. Но это уже область предположений без твёрдых лингвистических подтверждений.