Фамилия Лийв происходит от эстонского слова liiv — «песок». Скорее всего, прозвище дали человеку, который жил в песчаной местности. Такое объяснение — самое прямое и очевидное, других версий у этой фамилии нет, поэтому спорить здесь не о чем.

Фамилия довольно редкая для России, но в документах встречается. В Книге памяти Омской области записан эстонец Лийв Андрей Степанович, 1890 года рождения, уроженец Лифляндской губернии, Юрьевского уезда, села Каролинского. В Книге памяти Псковской области отмечены Лийв Елизавета Ивановна (1871 г.р.) и Лийв Юган Юганович (1875 г.р.) из деревни Пустошь Лесково Новосельского района. Эти записи показывают, что фамилия бытовала в среде эстонских переселенцев, которые оседали в разных губерниях Российской империи.

Самый известный носитель фамилии — эстонский поэт и прозаик Юхан Лийв (1864–1913). Его считают предшественником критического реализма в эстонской литературе, и его творчество хорошо известно в Эстонии.

С точки зрения словообразования фамилия простая: она совпадает с нарицательным словом, без русских суффиксов вроде -ов или -ин. Это характерно для фамилий прибалтийско-финского происхождения, которые часто заимствовались в исходной форме. Если сравнивать с похожими случаями, то это та же модель, что и, например, фамилия Туллик (от tullik — «огонь») или Калда (от kald — «берег»): прозвище по природному объекту, которое закрепилось как фамилия.