Фамилия Лодышкина — женская форма от Лодышкин, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. Основа здесь прозрачна: «лодыжка». Казалось бы, речь о части ноги, но в русских фамилиях прямое анатомическое прозвище встречается редко. Скорее всего, прозвище Лодыжка дали человеку с заметной, возможно, травмированной или необычной лодыжкой — хромому, косолапому или тому, кто припадал на ногу. В народе такие внешние приметы легко становились уличными кличками и закреплялись за родом.

Модель образования типична для северных и центральных областей России: суффикс -ин указывает на принадлежность «чей?» — сын или потомок Лодыжки. В говорах встречается и слово «лодыга» в значении «бабка» (надкопытный сустав у животных), но для прозвища человека это менее вероятно — слишком узкое значение.

Интересная деталь: в некоторых диалектах «лодыжка» могла означать не только кость, но и неповоротливого, медлительного человека. Если так, то фамилия могла закрепиться за нерасторопным или ленивым работником. В любом случае, корень не книжный, а живой, бытовой — из речи крестьян и ремесленников.

Сравните с однокоренными: Лодыгин (от «лодыга»), Лодыжкин. Лодышкина стоит особняком из-за суффикса -шк-, который вносит уменьшительно-пренебрежительный оттенок. Это намекает, что прозвище дали не взрослому мужчине, а подростку или человеку невысокого роста — «лодыжечка», «лодыжка» как дразнилка. В документах XVII–XVIII веков такие фамилии встречаются в основном среди посадских людей и крестьян центральных уездов, но точная география Лодышкиных без генеалогического поиска не определима.

Дворянской эта фамилия не была — слишком простое, «низовое» происхождение. В советское время её могли получить и по отчеству, но исходный смысл остался тем же: указание на предка с характерной приметой или повадкой.