Фамилия Лвягин — редкая и с неочевидной этимологией. На первый взгляд кажется, что в основе лежит слово «лев» (через форму «лва»), но это не так. В русском языке слово «лев» в косвенных падежах даёт основу «льв-» (льва, льву), а не «лв-». Поэтому версия о происхождении от «царя зверей» фонетически сомнительна.

Гораздо правдоподобнее, что фамилия восходит к диалектному или просторечному слову «лвяга» — так в некоторых говорах называли лягушку. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Лвягин — «сын Лвяги» или «человек из семьи Лвяги». Прозвище Лвяга могли дать человеку с характерным голосом, внешностью (например, с широким ртом или выпученными глазами) или даже за привычку много квасить (в переносном смысле — ныть, жаловаться). В ономастических трудах эта фамилия не упоминается как распространённая, и её носители встречаются крайне редко, что говорит о локальном происхождении — скорее всего, из северных или центральных губерний России, где слово «лвяга» бытовало в речи.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий на -ин, образованных от прозвищ или названий животных. Родственные фамилии — Лягин, Лягушкин — имеют ту же зоологическую основу, но Лвягин отличается редукцией гласного, что могло возникнуть из-за быстрого произношения в живой речи. Искать точную дату первого упоминания или известных носителей не имеет смысла: фамилия настолько редка, что не попала в основные справочники. Единственное, что можно сказать с уверенностью: предки носителя фамилии Лвягин жили в среде, где диалектное слово «лвяга» было в ходу, и получили прозвище по внешней или поведенческой черте, напоминавшей лягушку.