Фамилия Люкайкин — редкая, и её разбор требует внимания к деталям, которые не всегда лежат на поверхности. Главная трудность — основа «Люкайк-». В русских фамилиях она не встречается в виде известного слова или имени, поэтому первая и самая вероятная версия: перед нами вариант или производная от канонического имени Лука (Лука́). Имя Лука (от лат. lux — «свет») дало огромное число фамилий: Лукин, Лукашов, Лукинский, Лукашевич. Но Люкайкин — нестандартная модель.

Словообразовательная цепочка могла выглядеть так: Лука → уменьшительная форма Люкай (с мягким «Л» и суффиксом -ай, характерным для народных, диалектных вариантов имён) → притяжательное прилагательное Люкайкин («чей?» — сын Люкая). Суффикс -ин указывает на принадлежность: «сын Люкая». В северных и центральных говорах России фамилии на -ин и -их/-ых особенно распространены, и именно там мягкое «Л» в имени Лука (произносимое как «Люка») — не редкость. Таким образом, Люкайкин — это «сын Люкая», а сам Люкай — ласковое или просторечное прозвище от Луки.

Есть и другая, менее очевидная версия. Основа «Люкайк-» может быть связана с глаголом «люкать» (в некоторых диалектах — «качать», «колебать»; или, по Далю, «играть в мяч» — люкать мячом). Если так, то Люкайка — прозвище человека, который любил играть в мяч, качать что-то или, возможно, имел шаткую походку. Однако эта гипотеза слабее: в ономастических справочниках (например, у Б. Унбегауна) фамилии от диалектных глаголов с таким суффиксом редки, а имя Лука даёт куда более прямую и массовую линию. Спорных версий не множим: скорее всего, перед нами именно вариант от Луки.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где было сильно влияние северорусского наречия — Архангельская, Вологодская, Кировская области, а также Поволжье. Встречается она редко, и это говорит о том, что родоначальник был носителем локального прозвища, не вышедшего за пределы одной-двух деревень. В списках известных носителей фамилия не значится — это фамилия простых крестьян, скорее всего, государственных или помещичьих, без дворянского статуса (суффикс -ин в сочетании с нестандартной основой редко давал фамилии знати). Так что предки Люкайкиных — люди, которых в быту звали Люкайками, а официально записали по отцу: «Люкайкин сын».