Фамилия Люлына — редкая, и её разбор требует внимания к деталям, а не к шаблонным схемам. Скорее всего, перед нами не славянская, а тюркская или финно-угорская по происхождению основа, что сразу отличает её от большинства фамилий на -ин.

Первое, что бросается в глаза: фамилия оканчивается на -ына, а не на -ина. В русской ономастике суффикс -ин стандартно присоединяется к основам на -а/-я (сын Петра — Петрин, дочь Марии — Марьин). Форма Люлына с буквой «ы» после «л» — нетипична для русского языка. Это либо диалектное искажение (в некоторых говорах «ы» звучит вместо «и» после твёрдых согласных), либо указание на то, что основа фамилии — не русское слово. Если бы фамилия была образована от русского прозвища Люля (например, от глагола «люлить» — укачивать, или от названия птицы — люля, разновидность жаворонка), мы бы ожидали форму Люлина. Появление «ы» заставляет искать корни в языках, где звук «ы» более употребителен.

Наиболее правдоподобная версия: фамилия Люлына происходит от тюркского имени Люля (или Люлля). В татарском и башкирском языках имя Люля (Лүля) имеет значение «красивый, милый», а также может быть связано с названием цветка (тюльпан). В этом случае фамилия образована по русской модели: к основе Люл- добавили суффикс -ын (фонетический вариант -ин), указав на принадлежность: «чей?» — Люлын, а в женском роде — Люлына. Предки носителя фамилии могли быть выходцами из Поволжья, Приуралья или Западной Сибири, где активно смешивались русские и тюркские народы.

Есть и менее очевидная версия, связанная с коми-пермяцким языком. В нём слово «люль» означает «колыбель», а «люльына» — «колыбельная». Фамилия могла закрепиться за человеком, который делал колыбели или пел колыбельные, но это скорее прозвищная основа, которая редко переходила в фамилию напрямую. Географически фамилия Люлына встречается в единичных записях в Пермском крае и Кировской области, что косвенно подтверждает финно-угорский след.

Спорных версий здесь немного: пытаться вывести фамилию от слова «люлька» (трубка для курения) маловероятно, так как это слово заимствовано из тюркских языков и уже дало фамилию Люлькин. А вот связь с русским диалектным «люля» (вялый, сонный человек) возможна, но не объясняет написания через «ы».

Итог: фамилия Люлына — скорее всего, тюркского происхождения, с русским суффиксом принадлежности. Носители этой фамилии — потомки людей, которых в русских документах записывали по имени или прозвищу Люля, а необычная буква «ы» — либо диалектная черта, либо указание на то, что имя звучало твёрже, чем в русском языке.