Фамилия Лютрина — женская форма, а в основе лежит мужская фамилия Лютрин. Она образована по очень простой и распространённой модели: к основе, оканчивающейся на твёрдый согласный, добавили суффикс -ин. Это типичный «притяжательный» суффикс, который в древнерусском языке отвечал на вопрос «чей?». Фамилии на -ин в массе своей происходят от прозвищ или мирских имён, реже — от названий профессий. Лютрин, таким образом, — это «сын или потомок человека по прозвищу Лю́тра» или «Лютра».

Корень здесь — «лют-», который в древнерусском языке означал «свирепый, жестокий, злой», а также «яростный, неукротимый». Само слово «лютый» в старину было не просто прилагательным, а могло быть личным именем-оберегом. Давая ребёнку имя Лют (или Лютый), родители, как ни странно, желали ему силы и способности постоять за себя, отпугивать зло. В летописях и берестяных грамотах встречаются примеры: в Новгороде в XII веке упоминался посадник Лют, а в XV веке — некий Лютый. Прозвище Лю́тра могло относиться к человеку с крутым нравом, вспыльчивому, либо, наоборот, к суровому воину или охотнику.

Менее вероятная, но тоже возможная версия — связь с диалектным словом «лю́тра» (или «лю́тор»). В некоторых говорах так называли небольшой колокол или звонок. В этом случае прозвище мог получить звонарь, либо человек с громким, звонким голосом. Но эта гипотеза уступает основной по частоте встречаемости: подавляющее большинство фамилий на «лют-» в русском ономастиконе восходит именно к значению «лютый, свирепый».

Географически фамилия Лютрин (и Лютрина) — редкая. Она встречается преимущественно на северо-западе России, в бывших новгородских и псковских землях, а также в Вологодской области. Словарь русских фамилий Б. Унбегауна не выделяет её отдельно, но она хорошо вписывается в гнездо однокоренных фамилий: Лютов, Лютый, Лютовский, Люткин. Все они образованы от одного корня, но разными суффиксами. Фамилия Лютрина, с суффиксом -ин, указывает на то, что предок носителя (по мужской линии) жил в среде, где фамилии давали по отцу, а не по местности, то есть среди крестьян или посадских людей, а не дворянства.

Если коротко: ваши предки, скорее всего, были людьми с сильным, независимым характером, и прозвище Лю́тра, давшее начало фамилии, отражало их суровый нрав или воинскую доблесть.