Фамилия Лютрова — редкий случай, когда женская форма закрепилась в документах раньше или прочнее мужской. В русской традиции фамилии на -ов/-ев, -ин образуются от мужских прозвищ или имён, а женский вариант — производный. Но здесь мы видим именно форму Лютрова, которая могла возникнуть как притяжательное прилагательное от женского имени или прозвища: «Чья? — Лютрова». То есть основа — не мужское «Лютр», а женское «Лютра».

Что значит «Лютра»? Скорее всего, это вариант древнерусского прозвища Лютый, Люта. В диалектах «лютый» означало не только «злой, свирепый», но и «горячий, ретивый, сильный». В северных и сибирских говорах «люта» — вьюга, метель. Человек мог получить прозвище Лютра за буйный нрав, резкость в делах или, наоборот, за неутомимость в работе. Менее вероятна, но возможна связь с литовским liūtras — «грустный», «печальный»: в западных русских землях, где проходила граница с Литвой, могли заимствовать корень.

Суффикс -ов- указывает на принадлежность: Лютрова — «дочь или жена Лютра». Но если мужская фамилия Лютров — большая редкость, то женская форма могла закрепиться через вдову или мать, которая вела хозяйство и значилась в переписях как «Лютрова вдова» или «Лютрова дочь». Со временем запись упростили, и фамилия осталась в женском роде.

Географически фамилия тяготеет к северо-востоку России: Вологодская, Архангельская, Кировская области. Там «люта» как метель — слово обиходное, и прозвище могло закрепиться за человеком, родившимся в сильный буран или работавшим в непогоду. Встречается и в старых списках казачьих фамилий на Дону, но там скорее от характера — «лютый казак».

Сравните с однокоренными Лютов, Лютый, Лютенко. Лютрова выделяется именно окончанием, которое не даёт сразу понять, мужская это фамилия или женская. В современных паспортах её чаще носят женщины, а мужской вариант — Лютров — почти исчез, растворился в общей массе.