Фамилия Лызогуб — это, скорее всего, фонетический вариант хорошо известной фамилии Лизогуб. В русском языке такое чередование гласных «ы» и «и» (например, лысый и лисый) встречается в говорах, так что написание через «ы» не меняет сути прозвища, а лишь отражает местное произношение.

Прозвище Лизогуб (и Лызогуб) составное: глагол «лизать» и существительное «губа». В старину так называли человека угодливого, льстивого, который готов был «лизать губы» начальству, то есть заискивать. Это меткая характеристика поведения, а не внешности. Менее вероятная, но возможная версия — прозвище закрепилось за человеком с привычкой часто облизывать губы, хотя в народной традиции такие бытовые приметы реже становились основой для фамилии.

Самая яркая страница этой фамилии — дворянский род Лизогубов малороссийского происхождения. Он внесён в VI часть родословной книги Черниговской губернии, что говорит о древности рода. Иван и Яков Кондратовы Лизогубы участвовали в гетманских междоусобицах после смерти Богдана Хмельницкого и быстро поднялись из рядовых казаков в старшину. Иван Лизогуб уже в 1661 году стал уманским полковником. Яков Лизогуб отличился при взятии Азова в 1696 году, оказав Петру I серьёзные услуги. Его сын, Яков Ефимович, в 1717 году вошёл в состав генеральной старшины, которая после смерти гетмана Скоропадского управляла Малороссией под руководством Павла Полуботка. Таким образом, носители фамилии Лизогуб (а значит, и её варианта Лызогуб) имели прямое отношение к казацкой элите и политической истории Украины XVII–XVIII веков.

Если ваши предки носили фамилию Лызогуб, стоит учитывать, что написание через «ы» могло закрепиться у простых казаков или крестьян, чьи имена записывали со слуха дьяки. Дворянская ветвь традиционно писалась через «и». Но корень у всех один — прозвище, которое изначально давали не за родовитость, а за характер.