Фамилия Майчикова — женская форма, а мужская, Майчиков, образована по одной из самых распространённых в русской ономастике моделей: с помощью суффикса -ов, который указывает на принадлежность («чей?» — Майчиков). Основа здесь — прозвище или нецерковное имя Майчик. Как правило, такие фамилии закреплялись за детьми или потомками человека, которого в быту звали именно так.

Корень «май» сразу отсылает к названию весеннего месяца. В русской традиции прозвища по месяцам и дням календаря давали либо по времени рождения ребёнка, либо по каким-то характерным событиям. Майчиком могли назвать родившегося в мае, особенно если это было связано с каким-то приметным случаем — например, с первым выгоном скота или началом сева. Но есть и другая, менее очевидная, версия: в некоторых южнорусских и украинских говорах «май» означало не только месяц, но и молодую зелень, первые всходы. Тогда Майчик — прозвище человека, который занимался огородничеством, выращивал рассаду или просто был «зелёным» в смысле молодости и неопытности.

Суффикс -ик в прозвище Майчик — уменьшительно-ласкательный, что характерно для имён и прозвищ в крестьянской среде: он смягчал звучание, делал его более «домашним». Сравните с фамилиями Сентюриков (от Сентюря — Сентябрь), Августинов или Июльский. Однако Майчиков — не календарная фамилия в прямом смысле, как, например, Рождественский. Она скорее бытовая, прозвищная, и могла закрепиться за одним родом в конкретной местности.

География фамилии Майчиков (и Майчикова) не очень широка, но устойчива. Встречается преимущественно в центральных и южных областях России — в Воронежской, Ростовской, Волгоградской областях, а также на Украине. Это указывает на то, что прозвище бытовало в зоне южнорусского наречия, где слово «май» и его производные имели бытовой, а не только календарный смысл. В документах XVII–XVIII веков фамилия не фиксируется в боярских или дворянских списках — скорее всего, её носители были крестьянами или однодворцами.

С точки зрения словообразования, Майчиков стоит в одном ряду с фамилиями на -иков, где основа — уменьшительное имя или прозвище: Кузьмиков, Петриков, Саввиков. Отличие лишь в том, что основа здесь не церковное имя, а народное, сезонное. Это делает фамилию редкой, но не уникальной: похожая модель есть у фамилий Апрельков, Сентябрёв, но они встречаются ещё реже.

Если у ваших предков была фамилия Майчикова, скорее всего, они жили в зоне черноземья, занимались земледелием, а родоначальник получил прозвище по времени рождения или по роду занятий, связанному с весенними работами. Дворянского происхождения у этой фамилии нет — она чисто народная, крестьянская по корням.