Фамилия Майнакский звучит как типичная «географическая» фамилия, образованная по модели, знакомой каждому: основа + суффикс -ск- и окончание -ий. Такие фамилии в массе своей давались людям по названию места, откуда они были родом или где владели землёй. Поэтому первое, что приходит в голову, — поискать топоним «Майнак» или «Майнаки».

И такой топоним существует. Наиболее вероятная версия связывает фамилию с крымским селом Майнак (ныне часть Евпатории). В XIX веке это была небольшая деревня, известная своими солёными озёрами и грязелечебницами. Человек, переехавший оттуда в другую местность, легко мог получить прозвище «Майнакский» — то есть «выходец из Майнака». Суффикс -ск- в русских фамилиях как раз и выполнял роль указателя на происхождение, особенно в среде духовенства и дворянства, но позже распространился и среди других сословий.

Вторая версия, менее распространённая, но тоже возможная, — происхождение от названия реки или урочища Майнак. В тюркских языках слово «майнак» может означать «маленькое озеро» или «залив», что хорошо ложится на географию Крыма и Причерноморья. В этом случае фамилия — чисто топонимическая, без дополнительных значений.

Что касается социального контекста. Фамилии на -ский в Российской империи были особенно характерны для духовенства. Семинаристы при поступлении часто меняли бытовые фамилии на более благозвучные, «учёные», образованные от названий сёл, городов или церковных праздников. Майнакский мог появиться именно так: сын священника из села Майнак, отправляясь учиться в семинарию, записывался по месту службы отца. Однако эта фамилия могла возникнуть и у дворян, владевших имением в той местности, и у простых крестьян, переселившихся в центральные губернии.

Однокоренных фамилий, распространённых в России, практически нет. Майнакский — редкая, локальная фамилия. Встречается она преимущественно в южных регионах, на Кубани и в Крыму, что подтверждает её географическую привязку. Если ваши предки носили эту фамилию, поиск стоит начинать именно с Крымского полуострова и окрестностей Евпатории.