Фамилия Меньчайкина — женская форма фамилии Меньчайкин, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса, который сразу выдаёт способ образования. Суффикс -ин указывает на притяжательную модель: в основе лежит прозвище или нецерковное имя Меньчайка, а сама фамилия буквально означала «сын (или дочь) Меньчайки». Такая модель была типична для северных и центральных регионов России, где фамилии на -ин активно вытесняли более южные -ов/-ев.

Основа Меньчай- восходит к прилагательному «меньшой» — то есть меньший, младший. В древнерусской традиции «Меньшой» или «Меньшик» было распространённым нецерковным именем для младшего сына в семье. Уменьшительная форма «Меньчайка» — это ласковое или обиходное прозвище, которое давали самому младшему ребёнку, чтобы отличать его от старших братьев. Со временем оно закрепилось как родовое имя.

Фамилия редкая, её география невелика. По данным современных телефонных справочников и архивных записей, основное гнездо носителей — Вологодская и Архангельская области, что подтверждает северное происхождение. В этих краях фамилии на -ин особенно характерны, а прозвища по старшинству в семье были в ходу до XVIII века.

С точки зрения словообразования интересен суффикс -айк-: он образует не просто уменьшительные, а скорее фамильярно-ласкательные формы (сравните: Ваня — Ванька, Петя — Петька, но Меньшой — Меньшайка). Такие формы редко становились официальными фамилиями, поэтому Меньчайкина — пример того, как бытовое прозвище младшего члена семьи закрепилось в документах.

Версия о происхождении от слова «меньчайший» (то есть мельчайший) маловероятна: это прилагательное в значении «очень маленький» вошло в активный словарь позже и не образовывало личных имён. Так что предки носительницы фамилии — скорее всего, не «мелкие» по статусу люди, а просто младшие дети в крестьянских семьях Русского Севера, чьё домашнее прозвище пережило века.