Фамилия Менжера — редкий случай, когда географический корень почти очевиден, а вот способ его обработки русским языком вызывает вопросы. Скорее всего, перед нами топонимическая фамилия, образованная от названия реки Менжа или Менжер — такие гидронимы встречаются в бассейне Оки и в некоторых районах Псковской области. Если принять эту версию, то фамилия Менжера — это не типичная модель на -ов/-ин, а скорее форма родительного или именительного падежа, застывшая в качестве прозвища: «человек с Менжеры» или «живущий на Менжере». То есть предок мог получить прозвище по месту жительства, а фамилия закрепилась в неизменной форме, что для русских фамилий нехарактерно, но встречается в северных и сибирских говорах (сравните: «Сибиря», «Волга»).

Есть и другая, менее вероятная версия — от диалектного слова «менжер» или «менжера», которое могло означать что-то вроде «межевой знак», «граница» или «приметное дерево». В некоторых говорах «менж» — это зарубка на дереве, метка. Тогда прозвище Менжера могли дать леснику, землемеру или человеку, жившему на границе угодий. Но эта гипотеза слабая: ни один серьёзный словарь русских говоров такого слова не фиксирует, а все ссылки ведут к единичным упоминаниям в краеведческих записках.

Обратите внимание на окончание -а. Оно не типично для русских фамилий-существительных в именительном падеже (обычно «Менжеров» или «Менжер»). Это наводит на мысль, что фамилия могла прийти из языков финно-угорской группы, где -а — распространённый суффикс. Например, в коми или удмуртском «менж» — это нечто изогнутое, кривое, а «менжера» — «кривой человек». В таком случае фамилия — прозвище по внешности или походке, которое принесли в русскую среду выходцы с севера.

Встречаемость фамилии крайне низкая. Основные носители — в Тверской и Смоленской областях, единичные записи — на Урале. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, в списках купечества и духовенства она тоже не значится. Скорее всего, это крестьянская или мещанская фамилия, возникшая в XVI–XVII веках в одном из небольших сёл у реки с похожим названием.