Фамилия Миницкаите сразу выдаёт литовское происхождение. Её окончание -айте (-aitė) — один из самых распространённых литовских суффиксов, который указывает на незамужнюю женщину, дочь. В Литве фамилии мужчин и женщин различаются: мужская форма той же фамилии звучала бы как Миницкас (Minickas) или Миницкис (Minickis), а женщина, носящая фамилию с суффиксом -айте, — это дочь человека с такой фамилией. Таким образом, Миницкаите — это буквально «дочь Миницкаса».

Сама основа Миниц- восходит к литовскому слову minėti — «упоминать, поминать» или к minia — «толпа, множество». Вряд ли речь идёт о прямом прозвище «толпа» или «упоминание». Скорее всего, это сокращённая форма от какого-то двусоставного личного имени, например, Миндаугас (Mindaugas) или Мингайла (Mingaila). В литовской антропонимике такие усечения обычны: длинное имя в быту сокращали до первого корня, а затем добавляли суффикс -ицкас (-ickas) или -укас (-ukas), который придавал фамилии оттенок принадлежности или уменьшительности. Фамилии на -ицкас особенно характерны для восточной Литвы и Жемайтии, где польское влияние смешивалось с литовской основой.

Поскольку окончание указывает на женский пол и незамужнее положение, носительница фамилии Миницкаите — это, по всей вероятности, дочь литовского крестьянина или ремесленника. В XIX веке, когда фамилии в Литве закрепились окончательно (после реформы 1861 года и русификации), такие формы фиксировали именно семейную принадлежность: дочь Миницкаса. Мужчины с фамилией Миницкас могли быть выходцами из деревень вокруг Вильнюса, Каунаса или Паневежиса. Встречается и вариант Миницкис, который встречается реже, но тоже возможен.

Фамилия редкая. В современных базах данных по Литве и Латвии она встречается единично, что говорит о том, что род, скорее всего, немногочисленный и географически локализованный. Если вы встретили Миницкаите за пределами Литвы, например, в России или Беларуси, — это почти наверняка потомки литовских переселенцев начала XX века, сохранившие девичью фамилию в документах.