Фамилия Молеща — редкая и неоднозначная. Её происхождение почти наверняка связано с украинским или белорусским языковым фоном, а не с великорусским. В этом её главная особенность.

В основе фамилии лежит прозвище Молеща. Наиболее вероятное объяснение — от диалектного глагола «молить» или «молиться». Однако здесь не стоит искать прямую связь с благочестием. В юго-западных говорах «молеща» могли называть человека, который постоянно просит, клянчит, надоедает просьбами, то есть попрошайку. Вторая, менее распространённая версия, отсылает к слову «моль» (насекомое) — так могли прозвать неопрятного, «молью поеденного» человека. Третья, самая редкая, — возможная связь с польским «molesć» (докучать, надоедать), что возвращает нас к первому значению.

Словообразовательная модель типична для восточнославянских фамилий. Суффикс -а указывает на прозвищное происхождение, а окончание -а (в именительном падеже) характерно для украинских фамилий (ср. Паливода, Непийвода, Молеща). В русском языке такие фамилии обычно склоняются как существительные женского рода, хотя носят их мужчины.

Географически фамилия тяготеет к западным регионам бывшей Российской империи — современной Украине, Беларуси, возможно, югу России. В центральных и северных областях России она практически не встречается. Это косвенно подтверждает её украинско-белорусские корни.

Аналогичные по модели фамилии — Молька, Мольков (от той же основы «моль»), а также Моленко, Молибога (от «молить»). Но Молеща стоит особняком: она сохранила редкий суффикс -ещ-, который в украинском языке мог придавать прозвищу оттенок пренебрежения или принадлежности к определённой группе (ср. «бродяга» — «бродяще»).

Таким образом, предок носителя фамилии Молеща, скорее всего, жил на западе современной Украины или в Беларуси и получил прозвище за навязчивую манеру просить или за неопрятный внешний вид. Фамилия недворянская, крестьянского или казачьего происхождения.