Фамилия Мосявра — редкая и неочевидная по происхождению. В ней нет привычного для русских фамилий суффикса -ов или -ин, что сразу наводит на мысль об украинских, белорусских или польских корнях. Основа «Мосявр» могла возникнуть из прозвища, а сама фамилия, скорее всего, закрепилась на западнорусских землях, где были распространены модели без суффикса (вроде Гринь, Шевчук, Задорожный).

Самый прямой путь к значению — через диалектное или разговорное слово «мося» или «мось». В украинском и южнорусских говорах «мось» — это ласковое обращение к кошке, иногда к собаке. Отсюда могло образоваться прозвище «Мося» для человека с мягким, ласковым характером, или же для того, кто любил возиться с животными. Суффикс -вр- в таком случае — редкий, возможно, искажённый вариант -ар- или -ур- (сравните «косарь», «пономарь»), который указывал на род занятий: «тот, кто имеет дело с мосями», то есть, например, пастух или любитель кошек. Однако это лишь гипотеза: суффикс может быть и остатком другого слова, например, «мосяврый» (какой-то местный признак).

Вторая версия, более правдоподобная с точки зрения лингвистики, — связь с глаголом «мосяврить» или «мосявриться». В некоторых говорах это означало «медлить, копаться, делать что-то неловко». Прозвище Мосявра могли дать нерасторопному или неуклюжему человеку. В пользу этой гипотезы говорит то, что фамилии от глаголов с суффиксом -л- (-ила, -вра) встречаются в русской ономастике: ср. Ковыря, Вертячий, но Мосявра — случай уникальный.

Географически фамилия тяготеет к Украине и югу России. Встречается в основном в Харьковской, Сумской областях и в прилегающих районах Белгородчины. Это совпадает с зоной распространения украинских фамилий на -а, -я без патронимических суффиксов. В дореволюционных метрических книгах Мосявры записаны как мещане и крестьяне, но из-за редкости фамилии составить полную картину сословного состава сложно.

Однокоренных фамилий практически нет. Можно предположить, что Мосявра — это вариант фамилии Мосюра (от имени Моисей, уменьшительное Мосей) с диалектным изменением, но это маловероятно: звук «в» в середине слова плохо объясняется. Скорее всего, Мосявра — самостоятельное прозвище, которое не превратилось в массовую фамилию и осталось редким, локальным именованием одного или нескольких родов.