Фамилия Мулгчёв — редкий случай, когда написание говорит о произношении больше, чем о происхождении. Буква «ё» под ударением в суффиксе «-ёв» указывает, что предок произносил свою фамилию именно так, а не через «е». В русской ономастике суффикс «-ёв» встречается реже, чем «-ев», и часто закреплялся в документах, если основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий. Но здесь корень «мулгч» — твёрдый, поэтому «ё» могло появиться под влиянием живого говора, где ударный гласный звучал отчётливо и не редуцировался.

Основа фамилии — прозвище Мулгач или Мулгч. Наиболее вероятная версия: от диалектного слова «мулга» — так в некоторых говорах (вятских, пермских) называли кислое молоко, простоквашу, а иногда и скисшее тесто. Человек мог получить прозвище Мулгач за привычку есть много кисломолочного, за бледный цвет лица («кислый вид») или за профессию, связанную с приготовлением молочных продуктов. Суффикс «-ач» в таких прозвищах типичен для северных и уральских говоров и придаёт слову активное, деятельное значение: «тот, кто делает или любит то, что названо корнем».

Менее убедительная гипотеза связывает фамилию с тюркским корнем «мулк» (имущество, владение) или с именем Мулла, но переход «л» в «лг» и появление «ч» в русской огласовке нехарактерны. Поэтому версия с молочным прозвищем выглядит правдоподобнее и лучше объясняет структуру слова.

Географически фамилия Мулгчёв почти не встречается за пределами нескольких районов Кировской области и Пермского края. Это типично для фамилий, образованных от местных диалектизмов: они редко «расходились» по стране, оставаясь на территории бытования исходного слова. Носители фамилии, скорее всего, потомки крестьян-северян, не имевших сословных привилегий, а сама фамилия закрепилась в документах не раньше XVIII века, когда у государственных крестьян начали массово фиксировать фамилии по прозвищам.

В написании возможна вариативность: в старых метриках могли писать Мулгчев (без точек над ё), а в советских паспортах — уже с «ё». Но исходное прозвище Мулгач даёт именно такую форму, и если у вас фамилия пишется через «ё», значит, её запомнили и передали именно в том звучании, которое было у предка.