Фамилия Мулышкина — женская форма фамилии Мулышкин, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. Основа здесь не самая прозрачная, и это как раз тот случай, когда стоит начать с поиска исходного слова, а не с суффикса.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Мулышкин — «чей?» — сын или потомок Мулышки. А вот что такое «Мулышка»? Скорее всего, это прозвище или неканоническое имя, образованное от глагола «мулить» (или «мули́ть»). В русских говорах, особенно южных и западных, «мулить» означало «тереть», «натирать», «мять», а в переносном смысле — «докучать», «надоедать», «нудеть». Человек, получивший прозвище Мулышка, мог быть назойливым, ворчливым или, наоборот, тем, кто постоянно что-то мнёт, тревожит руками. Есть и другая версия: в некоторых диалектах «муля» — это просто «медлительный», «неповоротливый» человек.

Реже, но возможно, что основа восходит к слову «мулы́ш» — так в некоторых местах называли маленького, низкорослого человека или детёныша животного. Тогда прозвище было бы описательным по внешности. В любом случае, это не церковное имя, а мирское, данное в быту.

Фамилия Мулышкин — довольно редкая. Она не встречается массово в центральных губерниях, а тяготеет к регионам, где бытовали соответствующие говоры: например, в Тверской, Псковской, Смоленской областях, а также на юге России. В дореволюционных переписях такие фамилии чаще фиксировались у крестьян и мещан, реже — у однодворцев. Сословная принадлежность предков носителей фамилии Мулышкина, скорее всего, была крестьянской: прозвище давали в среде, где ценили меткое слово и не стремились к книжным именам.

Ударение, судя по типичной модели, падает на первый слог: Му́лышкина. В написании никаких исторических вариантов вроде «Мулышкинъ» не сохранилось — фамилия прошла стандартную унификацию в XX веке.