Фамилия Мяхар — редкий случай, когда в основе лежит не русское, а тюркское слово, причём с очень конкретным значением. В большинстве словарей тюркских языков «мягяр» (варианты: мякяр, мяхяр) означает «наёмный работник», «батрак», «подёнщик». Человек, которого так прозвали, скорее всего, не имел своей земли и нанимался на сезонные или разовые работы к более зажиточному хозяину. Прозвище было не столько обидным, сколько социально-описательным: оно сразу указывало на род занятий и положение в общине.

Словообразовательная модель здесь необычна для русских фамилий. Суффикса -ов или -ин в фамилии нет, она застыла в чистой форме прозвища. Это характерно для фамилий, которые оформились в среде, где русская антропонимическая система смешивалась с тюркской, — на южных рубежах Московского государства, в Поволжье, на Урале или в Сибири. В таких регионах прозвище Мяхар могли дать татарину, башкиру, чувашу или обрусевшему тюрку, а затем оно перешло к потомкам уже как фамилия без дополнительных русских суффиксов.

Встречается фамилия и в несколько ином написании — Мехар, Мягяр, Мяхир. Разница в огласовке (а/и/е) связана с тем, что в тюркских языках гласные звучат не так жёстко, как в русском, и при записи в документах их фиксировали на слух, часто по-разному в разных губерниях. Самая редкая форма — Мяхар — скорее всего, сохранилась в семьях, которые долго жили компактно в одном селе или деревне, где написание не искажалось при переездах.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Мяхар стоит особняком. Есть фамилия Мягков, но она образована от прилагательного «мягкий» и никак не связана с тюркским корнем. Есть фамилия Батраков, которая по-русски означает то же самое, что и Мяхар по-тюркски. То есть носитель фамилии Мяхар — это по сути «двойник» русского Батракова, только с другим языковым корнем и без суффиксальной обработки.

Точной географии фамилии сегодня нет, но по косвенным данным (редкость, тюркская основа, отсутствие суффикса) можно предположить, что её ядро — регионы бывшего Казанского ханства и прилегающие к ним территории. Встречается она и в среде касимовских татар, и у мишарей. Если ваши предки носили эту фамилию, то, скорее всего, они были крестьянами или посадскими людьми, которые жили в многонациональной среде, где тюркское прозвище не требовало перевода — все и так понимали, о ком идёт речь.